求学德国

缘自不理解二项分布的期望，方差和似然函数，而又必须面对期末考试，为了不挂科所以必须把这些概念和推导搞明白。二项分布是啥？伯努力实验（Bernoulli-Experiment）：非黑即白，只有{1,0}两个结果。1:事件发生，0:事件不发生。一般我们会做这样的实验：抛n次硬币，m次是头(Kopf)的概率。这就服从二项分布。 **特别注意：**我们必须分清，整个N次实验对应的随机变量X和单次的（比如：$\bar X$，此时$\bar X$对应的正态分布函数和X是不同的。） N次和1次首先我必须吐槽一下，我个人经常被二项分布里的N次实验和1次实验（比如均值）给弄得找不着北。我们知道期望一般都是用符号$\mu$来表示，但是经常我们看到的是这样： $N次实验: E(X)=\mu$ $均值\bar X的期望: E(\bar X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(x_i)=\frac{1}{n}n\mu=\mu$ 我不禁要说，这是闹哪样？你俩的结果看起来完全一样！这导致我一直不理解二项分布。实际上我们应该像wikipedia上一样写： $N次实验: E(X)=\mu_n$ 下标加上n就知道是n次伯努力实验，因此$\mu_n=np$。 $均值\bar X的期望: E(\bar X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(x_i)=\frac{1}{n}n\mu=\mu$ 这里不用变，因为就表示一次伯努力实验，一次实验的结果只有0和1的可能。当P代表出现的概率时，$E(x_i)=P+0(1-P)=P=\mu$。所以一次实验的期望始终是P。二项分布均值的期望和方差事件发生的概率 P，对应于值「1」事件未发生的概率 1-P，对应于值「0」一次伯努力实验的期望和方差，如下： $E(x_i)=P+0(1-P)=P=\mu,i=1,2,3…n$ $Var(x_i)=E((x_i-\mu)^2)=E(x_i^2)-\mu^2=1^2P+0^2(1-P)=P-\mu^2=P-P^2=P(1-P)$ 均值的期望和方差 $E(\bar X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(x_i)=\frac{1}{n}n\mu=\mu＝P$ $Var(\bar X)=Var(\frac{x_1+…+x_n}{n})=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nVar(x_i)=\frac{1}{n^2}n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}=\frac{P(1-P)}{n}$ 正态分布关于均值的考试题型我经常在置信区间遇到这种类型的题目。比如平时练习中的一道题： Ein Psychologe misst bei 100 zufällig ausgewählten Personen die Reaktionszeit auf ein bestimmtes Signal. Dabei ergibt sich ein Mittelwert von $\bar X = 0,80$ Sekunden. Unter Annahme, dass die Zufallsvariablen $X_1, …, X_{100}$, welche die Reaktionszeit beschreiben, unabhängig und $N(\mu, 0,04)$-verteilt sind, berechne man ein 0,95-Konfidenzintervall für $\mu$. 一次心理测验中，随机选中100个人，测试其对于一个特定信号的反应时间。给定平均值为0,80秒。在这种假设下，每个随机变量$X_1, …, X_{100}$都描述反应时间，它们互相独立且满足$N(\mu, 0,04)$正态分布，求0,95-置信区间下的$\mu$。注：0,04=0.04 ...

die Vollstaedigkeit der Operatoren

二项分布令人迷惑的n次和1次实验的期望